题目内容

在平面直角坐标系中，定义 $数学公式$ （n为正整数）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，将之称为点变换，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n+1（x_n+1，y_n+1）…是经过点变换得到的一列点，并记a_n为点P_n与P_n+1间的距离，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n为________．

$\text{[math]}$
分析：由题设可求P₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可寻求a_n与a_n-1的关系，可得数列为等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
解答：由题设知P₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且当n≥2时，a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n² a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
代入①计算化简得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（ $\text{[math]}$ ）2+（ $\text{[math]}$ ）2= $\text{[math]}$ （5x_n²-4x_ny_n+y_n²）= $\text{[math]}$ a_n²．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n≥2），
∴数列{a_n}是以 $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，且首项a₁=1，
∴a_n= $\text{[math]}$ ^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题是新定义类型，实际上考查了等比数列的判定与求和，考查推理、论证、计算能力．探求数列{a_n}的性质并利用得出的性质成为一种需求与自然．