Question

设椭圆的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|EF₁|+|EF₂|取最小值时椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1）设斜率为k（k≠0）的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知m＞0．由，得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2，或m≤-1（舍去）．此时．由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+t．由方程组，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则．由，得Q为线段AB的中点，由此能求出截距t的取值范围．
解答：解：（1）由题意，知m+1＞1，即m＞0．
由
得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．
由△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，
解得m≥2，或m≤-1（舍去）∴m≥2（3分）
此时．
当且仅当m=2时，|EF₁|+|EF₂|．取得最小值，
此时椭圆方程为．
（2）设直线l的方程为y=kx+t．
由方程组，
消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．∵直线l与椭圆交于不同两点A、B∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则．
由，得Q为线段AB的中点，
则．∵，
∴k_AB•k_QN=-1，[来源：学，科，即．
化简得1+3k²=2t．代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由．
所以，直线l在y轴上的截距t的取值范围是．
点评：本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围．解题时要认真审题，利用椭圆性质注意合理地进行等价转化．