Question

（文科）已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b(a，b，∈R)在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则a的取值范围为（　　）

• A．-

  5

  2

  ＜a＜-2
• B．2＜a＜

  5

  2

• C．-

  5

  2

  ＜a＜2
• D．-2＜a＜

  5

  2

Answer 1

分析：求出f′（x），由题意知f′（x）在（0，1）和（1，2）内各有一个零点，据此可得f′（x）在0，1，2处的符号，从而可求a的范围．

解答：解：f′（x）=x²+ax+1，由题意知f′（x）在（0，1）和（1，2）内各有一个零点，
则有

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，即

1＞0 a+2＜0 2a+5＞0

，解得-

5

2

＜a＜-2．
故选A．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及二次方程根的分布问题，注意结合图象进行分析本题．