题目内容
12．函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a仅一个零点，则a的取值范围为（ ）| A． | $（0，\frac{1}{6}）$ | B． | $（-\frac{1}{6}，0）$ | C． | $（-∞，0）∪（\frac{1}{6}，+∞）$ | D． | $（-∞，\frac{1}{6}）∪（0，+∞）$ |
分析 求出函数的极值，利用函数有一个零点，求解即可．
解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a，
则f′（x）=x2-x，令x2-x=0，可得x=1或x=0，
x∈（-∞，0），函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a是增函数，x∈（0，1）时函数是减函数，x∈（1，+∞）是增函数．
f（0）是极大值，f（1）是极小值，
函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a仅一个零点，
则f（0）＜0或f（1）＞0，
可得a＜0，或$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+a＞0$即a＞$\frac{1}{6}$．
故选：C．
点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值与函数的零点的关系，考查分析问题解决问题的能力．
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| A． | （$\frac{1}{3}$，+∞） | B． | （$\frac{1}{5}$，+∞） | C． | （$\frac{1}{9}$，+∞） | D． | （0，+∞） |
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