题目内容
(本小题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
解析:解法一:
(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长,则。
又,所以,
连,由(Ⅰ)知,所以,
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小为。
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使
由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.
解法二:
(Ⅰ);连,设交于于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。
设底面边长为,则高。
于是
故
从而
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为
(Ⅲ)在棱上存在一点使.
由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,
且
设
则
而
即当时,
而不在平面内,故
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