Question

【题目】如图，三棱柱中，平面，，.以，为邻边作平行四边形，连接和.

（1）求证：平面；

（2）若二面角为45°，

①证明：平面平面；

②求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②.

【解析】

（1）连接，证明，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）①取CD的中点O，连接，易证为二面角的平面角，得到，结合平面，得到，从而得到平面，再利用，由面面垂直的判定定理证明，②过A作，根据平面平面，得到平面，可知是直线与平面所成角，然后在中求解.

（1）如图所示

连接，在平行四边形ABCD中，，

在三棱柱中，又，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）①取CD的中点O，连接，因为，

所以，又因为平面，

所以，，

所以平面，

所以，

所以为二面角的平面角，

在中，，，

所以，又因为，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面；

②过A作，因为平面平面，

所以平面，

所以是在平面上的射影，

所以是直线与平面所成角，

在中，，

.