题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若关于x的不等式恒成立,且k的最小值是m,求证:
.
【答案】(1);(2)当
时,
在
为增函数,无减区间;
当时,
在
为增函数,在
为减函数;(3)见解析.
【解析】
(1)求出后可得曲线
在
处的切线方程.
(2)就、
时分别讨论函数
的符号后可得
的单调性.
(3)根据(2)中的结论可得,其中
满足
,消去
得到
,再利用导数可得
为增函数且存在唯一零点,故此不等式的解为
,由此可得
,利用分析法结合
的范围可证
.
(1)当时,
,
,
,所以曲线
在
处的切线方程为
,
而,故切线方程为
.
(2),
当时,
,故
在
为增函数,无减区间.
当时,令
,解得
或
(舍)
当时,
,故
在
为增函数;
当时,
,故
在
为减函数;
综上,当时,
在
为增函数,无减区间;
当时,
在
为增函数,在
为减函数.
(3)由(2)可知,当,
在
为增函数,
因为,与题设矛盾,舍.
当时,
在
为增函数,在
为减函数,
所以,因为不等式
恒成立,故
.
令,则
.
消去,则有
即
,
令,
,则
,故
为
上的增函数.
又,
,
因为,故
,故
.
所以在
上有且只有一个零点,设
为
的零点,
故不等式的解为
且
.
又,因为函数
在
为减函数,
故当时,
即
,也就是
.
要证,即证
,
即证,也就是证明
,
即证.
因为,而
,
故成立,所以
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某人某天的工作是驾车从地出发,到
两地办事,最后返回
地,
,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表
路段 | 正常行驶所用时间(小时) | 上午拥堵概率 | 下午拥堵概率 |
1 | 0.3 | 0.6 | |
2 | 0.2 | 0.7 | |
3 | 0.3 | 0.9 |
若在某路段遇到拥堵,则在该路段行驶时间需要延长1小时.
现有如下两个方案:
方案甲:上午从地出发到
地办事然后到达
地,下午从
地办事后返回
地;
方案乙:上午从地出发到
地办事,下午从
地出发到达
地,办完事后返回
地.
(1)若此人早上8点从地出发,在各地办事及午餐的累积时间为2小时,且采用方案甲,求他当日18点或18点之前能返回
地的概率.
(2)甲乙两个方案中,哪个方案有利于办完事后更早返回地?请说明理由.