题目内容

对于函数f(x),g(x),h(x),如果存在实数a,b,使得h(x)=af(x)+bg(x),那么称h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数.
(1)给出如下两组函数,试判断h(x)是否分别为f(x),g(x)的线性生成函数,并说明理由.
第一组:f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)

第二组:f(x)=x2-x,g(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)已知f(x)=log2x,g(x)=log0.5x的线性生成函数为h(x),其中a=2,b=1.若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围;
(3)已知f(x)=x,g(x)=
1
x
,x∈[1,10]
的线性生成函数h(x),其中a>0,b>0.若h(x)≥b对a∈[1,2]恒成立,求实数b的取值范围.
分析:(1)对于第一组:f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)
利用和角公式即可得到sin(x+
π
3
)=
1
2
sinx+
3
2
cosx
,即h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数.
第二组:f(x)=x2-x,g(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.若h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数,则有:
存在实数a,b,使得x2-x+1=a(x2-x)+b(x2+x+1),利用关于a,b的方程组无解即可得出h(x)不为f(x),g(x)的线性生成函数.
(2)先得到h(x)=2log2x+log0.5x=log2x,当x∈[2,4]时,1≤h(x)≤2,若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,利用换元思想结合二次函数的性质即可求得实数t的取值范围;
(3)由已知f(x)=x,g(x)=
1
x
,的线性生成函数h(x),其中a>0,b>0,可得h(x)=ax+
b
x
,再结合函数h(x)的性质利用恒成立问题的解法即可求得实数b的取值范围.
解答:解:(1)第一组:f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)

若h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数,则有:
存在实数a,b,使得sin(x+
π
3
)
=asinx+bcosx,
由于sin(x+
π
3
)=
1
2
sinx+
3
2
cosx
故上式成立,
即h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数.
第二组:f(x)=x2-x,g(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
若h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数,则有:
存在实数a,b,使得x2-x+1=a(x2-x)+b(x2+x+1),
则:x2-x+1=(a+b)x2-(a-b)x+b,
a+b=1
a-b=1
b=1
这是不可能成立的,
即h(x)不为f(x),g(x)的线性生成函数.
(2)已知f(x)=log2x,g(x)=log0.5x的线性生成函数为h(x),其中a=2,b=1.
则:h(x)=2log2x+log0.5x=log2x,当x∈[2,4]时,1≤h(x)≤2,
若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,
即-t>3h2(x)+2h(x),即要求-t>3h2(x)+2h(x)最小值即可,
-t>5,∴t<-5
∴实数t的取值范围t<-5.
(3)由已知f(x)=x,g(x)=
1
x
,的线性生成函数h(x),其中a>0,b>0.
得:h(x)=ax+
b
x

若h(x)≥b对a∈[1,2]恒成立,
即ax+
b
x
≥b对a∈[1,2]恒成立,
b要小于等于ax+
b
x
的最小值即可,
即b≤2
ab
,即
b
≤2
a

由于a∈[1,2],∴
b
≤2
,得出:0<b≤4
∴实数b的取值范围是0<b≤4.
点评:本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数恒成立问题、三角变换、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
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