题目内容
已知函数f(x)=
,若函数f(x)满足f(-x)=-f(x).
(1)求实数a的值.
(2)判断函数的单调性.
a•2x+a-2 | 2x+1 |
(1)求实数a的值.
(2)判断函数的单调性.
分析:(1)利用函数f(x)满足f(-x)=-f(x),可得f(0)=0,从而可求实数a的值;
(2)利用函数单调性的定义及证明步骤:取值,作差,变形,定号下结论即可.
(2)利用函数单调性的定义及证明步骤:取值,作差,变形,定号下结论即可.
解答:解:(1)由题意,函数的定义域为R.…(2分)
∵f(-x)=-f(x),
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
∴
=0.解得a=1 …(6分)
(2)f(x)在定义域R上为增函数
任取x1,x2∈R,x1<x2,则2x1<2x2 …(7分)
则f(x1)-f(x2)=
<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在定义域R上为增函数. …(12分)
∵f(-x)=-f(x),
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
∴
2a-2 |
2 |
(2)f(x)在定义域R上为增函数
任取x1,x2∈R,x1<x2,则2x1<2x2 …(7分)
则f(x1)-f(x2)=
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在定义域R上为增函数. …(12分)
点评:本题考查函数的解析式的求解,考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题.

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