题目内容

【题目】设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.

(1)若=6,求k的值;

(2)求四边形AEBF面积的最大值.

【答案】见解析

【解析】(1)依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1.①

=6知x0-x1=6(x2-x0),

得x0 (6x2+x1)=x2

由D在AB上知x0+2kx0=2,

得x0.

所以

化简得24k2-25k+6=0,

解得k=或k=.

(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为

h1

h2.

又|AB|=

所以四边形AEBF的面积为

S=|AB|(h1+h2)

··

=2≤2

当4k2=1(k>0),即当k=时,上式取等号.

所以S的最大值为2.

即四边形AEBF面积的最大值为2.

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