Question

已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an．如果在一种算法中，计算

x

k 0

(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算P₃（x₀）的值至多需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P₁₀（x₀）的值至多需要

65

次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P₀（x）=a₀，P_k+1（x）=xP_k（x）+a_k+1（k=0，1，2，…，n-1）．利用该算法，计算P₃（x₀）的值至多需要6次运算，计算P₁₀（x₀）的值至多需要

20

次运算．

Answer 1

分析：根据常规运算的算法规则，和秦九韶算法的算法规则，我们不难得到结论．

解答：解：在利用常规算法计算多项式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值时，
算a₀xⁿ项需要n乘法，则在计算时共需要乘法：n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=

n(n+1)

2

次
需要加法：n次，则计算P_n（x₀）的值共需要

1

2

n（n+3）次运算．
故计算P₁₀（x₀）的值共需要65次运算．
在使用秦九韶算法计算多项式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值时，
共需要乘法：n次
需要加法：n次，则计算P_n（x₀）的值共需要2n次运算．
故计算P₁₀（x₀）的值至多需要20次运算．
故答案为：65；20

点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．