题目内容

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , n∈N* , 已知a1=1,a2= ,a3= ,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1
(1)求a4的值.
(2)证明:{an1 an}为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.

【答案】
(1)解:∵a1=1,a2= ,a3=

∴S1=1,S2= ,S3=

又∵4S4+5S2=8S3+S1

∴S4= (8S3+S1﹣5S2)= (8 +1﹣5 )=

∴a4=S4﹣S3= =


(2)证明:∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1

∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn1=4Sn+1﹣4Sn

∴4an+2+an=4an+1

整理得:an﹣2an+1=2an+1﹣4an+2

∴an+1﹣2an+2= (an﹣2an+1),

即an+2 an+1= (an+1 an),

又∵ = =1,

∴数列{an+1 an}是以1为首项、 为公比的等比数列


(3)解:由(2)可知an+1 an=

∴an+1= an+

∴2n+1an+1=2nan+4,

又∵2a1=2,

∴数列{2nan}是以2为首项、4为公差的等差数列,

∴2nan=2+4(n﹣1)=4n﹣2,

∴an= =


【解析】(1)通过4S4+5S2=8S3+S1 , 直接代入计算即可;(2)通过对4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1变形可知4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn1=4Sn+1﹣4Sn , 即4an+2+an=4an+1 , 整理得an+1﹣2an+2= (an﹣2an+1),进而计算可得结论;(3)通过(2)可知an+1 an= ,两边同时乘以2n+1可知2n+1an+1=2nan+4,进而数列{2nan}是以2为首项、4为公差的等差数列,计算即得结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等比关系的确定和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

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交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素

浮动比率

上一个年度未发生有责任道路交通事故

下浮10%

上两个年度未发生责任道路交通事故

下浮20%

上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

下浮30%

上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

上浮10%

上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

上浮30%

某机购为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:

类型

数量

10

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5

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15

5

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(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事用户车盈利10000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:

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②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.

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