题目内容
某大学高等数学老师这学期分别用
两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
（参考公式：
其中
）
两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”| | 甲班 | 乙班 | 合计 |
| 优秀 | | | |
| 不优秀 | | | |
| 合计 | | | |
 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
其中）（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高.
（Ⅱ）
;
（Ⅲ）在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。
（Ⅱ）
;（Ⅲ）在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。
试题分析：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高 3分
（Ⅱ）记成绩为86分的同学为
，其他不低于80分的同学为
“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
一共15个，“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：
共9个， 5分故
7分（Ⅲ）
| | 甲班 | 乙班 | 合计 |
| 优秀 | 3 | 10 | 13 |
| 不优秀 | 17 | 10 | 27 |
| 合计 | 20 | 20 | 40 |
，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。 12分点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。解答本题的关键之一，是确定“事件数”，一般处理方法有“树图法”“坐标法”，力求不重不漏。本题对计算能力要求较高。
练习册系列答案
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与
相互独立，且
，则
（ ）
. 
； 
.
； 
.
； 
.
的边长为2，
分别是边
的中点．
，求满足
的概率；
这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为
，求
．
