Question

（1）已知a，b，c为实数，证明a，b，c均为正整数的充要条件是

a+b+c＞0 ab+bc+ca＞0 abc＞0

；
（2）已知方程x³+px²+qx+r=0的三根α，β，γ都是实数，证明α，β，γ是一个三角形的三边的充要条件是

p＜0，q＞0，r＜0 p3＞4pq-8r

．

Answer 1

证明：（1）条件的必要性是显然的，
因为已知a＞0，b＞0，c＞0，
所以立即可得a+b+c＞0，
ab+bc+ca＞0，abc＞0．
下面证明条件的充分性：
设a，b，c是三次方程x³+px²+qx+r=0的三个根，
则由根与系数的关系及已知条件有-p=a+b+c＞0，
q=ab+bc+ca＞0，-r=abc＞0，
此即p＜0，q＞0，r＜0．
由此即可知三次方程x³+px²+qx+r=0的系数正负相间，
所以此方程无负根，即方程根均非负；
又由abc＞0可知，方程无零根，
故a＞0，b＞0，c＞0；
（2）由（1）的证明可知，α，β，γ均为正数的充要条件是p＜0，q＞0，r＜0．
于是问题转化为证明α，β，γ为三角形三条边的充要条件为p³＞4pq-8r
条件的必要性：
若α，β，γ为三角形的三边，
则由三角形的性质必有α+β＞γ，β+γ＞α，γ+α＞β．
于是α+β-γ＞0，β+γ-α＞0，γ+α-β＞0．
由此可得（α+β-γ）（β+γ-α）（γ+α-β）
=（-p-2α）（-p-2β）（-p-2γ）
=-（p+2α）（p+2β）（p+2γ）
=-[p³+2（α+β+γ）p²+4（βγ+γα+αβ）p+8αβγ]
=-（p³-2p³+4pq-8r）=p³-4pq+8r＞0
即p³＞4pq-8r．
条件的充分性：若p³＞4pq-8r，
则p³-4pq+8r＞0，
-（α+β+γ）³+4（α+β+γ）（αβ+βγ+γα）-8αβγ＞0，
（α+β+γ）（2αβ+2βγ+2γα-α²-β²-γ²）-8αβγ＞0，
[α+（β+γ）][-（β-γ）²+2α（β+γ）-α²]-8αβγ＞0，
-α³+α²（β+γ）+α（β-γ）²-（β+γ）（β-γ）²＞0，
α²（-α+β+γ）+（β-γ）²（α-β-γ）＞0，
（-α+β+γ）[α²-（β-γ）²]＞0，
（-α+β+γ）（α+β-γ）（α-β+γ）＞0．
此式中至少有一因式大于0，今设-α+β+γ＞0，
则必有（α+β-γ）（α-β+γ）＞0．
如果α+β-γ＜0，α-β+γ＜0，
两式相加得2a＜0，
即α＜0，此与α＞0相矛盾
故有-α+β+γ＞0，α+β-γ＞0，α-β+γ＞0，
此即

β+γ＞α α+β＞γ α+γ＞β

此即α，β，γ可作为一个三角形的三条边．
综上所证可知，
方程x³+px²+qx+r=0的三根α，β，γ为一个三角形的三条边的充要条件是

p＜0，q＞0，r＜0 p3＞4pq-8r

．