题目内容
(1)已知a,b,c均为实数,求证:a2+b2+c2≥
(a+b+c)2.
(2)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+
,b=y2-2z+3,c=z2-2x+
.求证:a,b,c中至少有一个大于0.
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(2)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+
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分析:(1)利用分析法,要证a2+b2+c2≥
(a+b+c)2,需证…,只需证…,即证(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,该式成立,从而可证原结论成立;
(2)利用反证法,假设a,b,c中没有一个大于0(即均≤0),导出矛盾,从而使要证的结论成立.
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(2)利用反证法,假设a,b,c中没有一个大于0(即均≤0),导出矛盾,从而使要证的结论成立.
解答:解:(1)要证a2+b2+c2≥
(a+b+c)2,
需证3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即证2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,
即证(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,该式显然成立,
故原结论成立;
(2)假设
,即
,
①+②+③得:x2+y2+z2-2x-2y-2z+3+
+
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
≤0,
∵(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,(z-1)2≥0,
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
≥
,
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
≤0是不可能的,即x2+y2+z2-2x-2y-2z+3+
+
≤0是不可能的,
∴假设不成立,
∴a,b,c中至少有一个大于0.
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需证3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即证2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,
即证(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,该式显然成立,
故原结论成立;
(2)假设
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①+②+③得:x2+y2+z2-2x-2y-2z+3+
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∵(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,(z-1)2≥0,
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
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∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
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∴假设不成立,
∴a,b,c中至少有一个大于0.
点评:本题考查不等式的证明,着重考查分析法与反证法的应用,考查推理证明能力,属于中档题.
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