题目内容
(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:
<
;
(2)若不等式
+
+…+
>
对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并用数学归纳法证明此时的不等式.
| ||
a |
3 |
(2)若不等式
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
3n+1 |
a |
24 |
分析:(1)a>b>c,a+b+c=0⇒a>0,b=-(a+c),(a-b)(a-c)>0,将b=-(a+c)代入(a-b)(a-c)>0整理即可证得结论;
(2)先计算n=1时的情形,猜测a的值,再用数学归纳法证明即可.
(2)先计算n=1时的情形,猜测a的值,再用数学归纳法证明即可.
解答:(1)证明:∵a>b>c,
∴(a-b)(a-c)>0①,又a+b+c=0,故a>0,
∴b=-(a+c)代入①得
(2a+c)(a-c)>0,即2a2-ac-c2>0,
∴a2+ac+c2<3a2,(1)
又a2+ac+c2=(a+
)2+
≥0,②
(1)式两边开方得:
<
a,a>0,
∴
<
,即
<
,而b=-(a+c),
∴
<
.
(2)证明:当n=1时,
+
+
=
>
,
∴a<26,又a∈N*,
∴取a=25,
下面用数学归纳法证明:
+
+…+
>
.,
①当n=1时,已证;
②假设当n=k时,
+
+…+
>
成立,
则当n=k+1时,有
+
+…+
+
+
+
=(
+
+…+
)+(
+
+
-
)
>
+
+
-
,
∵
+
-
=
>0,
∴
+
+…+
+
+
+
>
成立;
由①②可知,对一切n∈N*,都有不等式
+
+…+
>
成立.
∴a的最大值为25.
∴(a-b)(a-c)>0①,又a+b+c=0,故a>0,
∴b=-(a+c)代入①得
(2a+c)(a-c)>0,即2a2-ac-c2>0,
∴a2+ac+c2<3a2,(1)
又a2+ac+c2=(a+
c |
2 |
3c2 |
4 |
(1)式两边开方得:
a2+ac+c2 |
3 |
∴
| ||
a |
3 |
| ||
a |
3 |
∴
| ||
a |
3 |
(2)证明:当n=1时,
1 |
1+1 |
1 |
1+2 |
1 |
1+3 |
26 |
24 |
a |
24 |
∴a<26,又a∈N*,
∴取a=25,
下面用数学归纳法证明:
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
3n+1 |
25 |
24 |
①当n=1时,已证;
②假设当n=k时,
1 |
k+1 |
1 |
k+2 |
1 |
3k+1 |
25 |
24 |
则当n=k+1时,有
1 |
(k+1)+1 |
1 |
(k+1)+2 |
1 |
3k+1 |
1 |
3k+2 |
1 |
3k+3 |
1 |
3(k+1)+1 |
=(
1 |
k+1 |
1 |
k+2 |
1 |
3k+1 |
1 |
3k+2 |
1 |
3k+3 |
1 |
3k+4 |
1 |
k+1 |
>
25 |
24 |
1 |
3k+2 |
1 |
3k+4 |
2 |
3(k+1) |
∵
1 |
3k+2 |
1 |
3k+4 |
2 |
3(k+1) |
2 |
3(k+1)(3k+2)(3k+4) |
∴
1 |
(k+1)+1 |
1 |
(k+1)+2 |
1 |
3k+1 |
1 |
3k+2 |
1 |
3k+3 |
1 |
3(k+1)+1 |
25 |
24 |
由①②可知,对一切n∈N*,都有不等式
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
3n+1 |
25 |
24 |
∴a的最大值为25.
点评:本题考查不等式的证明,着重考查数学归纳法的应用,突出运算与推理能力的考查,属于难题.
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