Question

10．设函数f（x）=$\frac{{a}^{2}+asinx+2}{{a}^{2}+acosx+2}$（x∈R）的最大值为M（a），最小值为m（a），则（　　）

• A． ?a∈R，M（a）•m（a）=1
• B． ?a∈R，M（a）+m（a）=2
• C． ?a₀∈R，M（a₀）+m（a₀）=1
• D． ?a₀∈R，M（a₀）•m（a₀）=2

Answer 1

分析 将函数整理为a（sinx-ycosx）=（a²+2）（y-1），再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案．

解答 解：y=$\frac{{a}^{2}+asinx+2}{{a}^{2}+acosx+2}$（x∈R），
即有a（sinx-ycosx）=（a²+2）（y-1），
即为a$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x-θ）=（a²+2）（y-1），θ为辅助角．
由x∈R，|sin（x-θ）|≤1，
可得|（a²+2）（y-1）|≤|a$\sqrt{1+{y}^{2}}$|，
即有（a²+2）²•（y-1）²≤a²•（1+y²），
化简可得（a⁴+3a²+4）y²-2（a²+2）²y+（a⁴+3a²+4）≤0，
由于a⁴+3a²+4＞0恒成立，
判别式4（a²+2）⁴-4（a⁴+3a²+4）²=4a²（2a⁴+7a²+8）＞0恒成立，
即有不等式的解集为[m（a），M（a）]，
由韦达定理可得?a∈R，m（a）•M（a）=1，
故选：A．

点评 本题考查三角函数的值域，主要考查辅助角公式的运用和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．