题目内容

已知点(
 ,2  )
在幂函数f(x)的图象上,点(-2 ,  
1
4
)
在幂函数g(x)的图象上.
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)判断函数g(x)的单调性并用定义证明;
(3)问x为何值时有f(x)≤g(x).
(1)由题易得f(x)=x2 ,g(x)=x-2
(2)g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数
证明:任取x1<x2<0,有g(x1)-g(x2)=
(x1+x2)(x2-x1)
x21
x22

∵x1+x2<0,x2-x1>0,x12x22>0
∴g(x1)-g(x2)<0
∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.
任取0<x1<x2,有g(x1)-g(x2)=
(x2+x1)(x2-x1)
x21

∵x2+x1>0,x2-x1>0,x12x22>0
∴g(x1)>g(x2
∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.
(3)当x>1或x<1时,f(x)≤g(x),证明如下
由(1),两函数都是偶函数,先研究x>0时满足f(x)≤g(x)的x的取值范围.
令x2 =x-2,解得x=1,又f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数,g(x)=x-2在(0,+∞)上是减函数,故可得f(x)≤g(x)的x的取值范围是x≤1
由两函数的解析式知,此两函数都是偶函数,故当x<0时,f(x)≤g(x)的x的取值范围是x≥-1
综上当-1≤x≤1时,f(x)≤g(x)
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