题目内容
已知点(
，2 )在幂函数f（x）的图象上，点(-2 ，
)在幂函数g（x）的图象上．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．
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（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．
（1）由题易得f（x）=x2 ，g（x）=x-2
（2）g（x）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数
证明：任取x1＜x2＜0，有g(x1)-g(x2)=
∵x1+x2＜0，x2-x1＞0，x12x22＞0
∴g（x1）-g（x2）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取0＜x1＜x2，有g(x1)-g(x2)=
∵x2+x1＞0，x2-x1＞0，x12x22＞0
∴g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
令x2 =x-2，解得x=1，又f（x）=x2 在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x-2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≤1
由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≥-1
综上当-1≤x≤1时，f（x）≤g（x）
（2）g（x）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数
证明：任取x1＜x2＜0，有g(x1)-g(x2)=
| (x1+x2)(x2-x1) | ||||
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∵x1+x2＜0，x2-x1＞0，x12x22＞0
∴g（x1）-g（x2）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取0＜x1＜x2，有g(x1)-g(x2)=
| (x2+x1)(x2-x1) | ||
|
∵x2+x1＞0，x2-x1＞0，x12x22＞0
∴g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
令x2 =x-2，解得x=1，又f（x）=x2 在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x-2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≤1
由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≥-1
综上当-1≤x≤1时，f（x）≤g（x）
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