Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

证明略

证明（必要性）
∵a+b=1，∴a+b-1=0，                                                2分
∴a³+b³+ab-a²-b²=（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）                       5分
=（a+b-1）（a²-ab+b²）="0.                                          " 7分
（充分性）
∵a³+b³+ab-a²-b²=0，
即（a+b-1）（a²-ab+b²）=0，                                           9分
又ab≠0,∴a≠0且b≠0,
∴a²-ab+b²=（a-b²＞0,
∴a+b-1=0,即a+b="1,           "                                      12分
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是
a³+b³+ab-a²-b²="0.                                            " 14分