题目内容
设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=
对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）= ．
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考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：先由图象直线x=
对称得f（1-x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+2）=f（x），得f（x）是以2为周期的周期函数再求解．
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解答：
解；∵图象直线x=
对称，
∴f（1-x）=f（x）
∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴f（1-x）=-f（x-1）
∴f（x）=-f（x-1）
∴f（x+1）=-f（x）
∴f（x+1）=f（x-1）
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）的周期为2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵y=f（x）的图象关于直线x=
对称，
∴f（1）=f（0）=0
∵f（x）的周期为2，
∴f（2）=f（0）=0
∴f（3）=f（1）=0
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）=0
故答案为：0
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∴f（1-x）=f（x）
∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴f（1-x）=-f（x-1）
∴f（x）=-f（x-1）
∴f（x+1）=-f（x）
∴f（x+1）=f（x-1）
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）的周期为2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵y=f（x）的图象关于直线x=
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∴f（1）=f（0）=0
∵f（x）的周期为2，
∴f（2）=f（0）=0
∴f（3）=f（1）=0
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）=0
故答案为：0
点评：本题考查函数的奇偶性对称性及周期性的相互转化，属于中档题．
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