题目内容
如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为an.
(1) ;
(2) .
(1)18;(2).
解析试题分析:(1)设三种不同颜色分别为甲、乙、丙三种.时,第1区域有3种选择, 第2区域有2种选择,第3区域有2种选择,因为第4区域要与第1区域颜色不同,故对第3区域的选择分类讨论:当第3区域与第1区域颜色相同时,第4区域有2种选择;当第3区域与第1区域颜色不同时,第4区域仅有1种选择.所以
;(2)当将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色时,第1区域有3种染色方案,第2区域至第
区域有2种染色方案.此时考虑第
区域也有2种涂色方案,在此情况下有两种情况:
情况一:第区域与第1区域同色,此时相当将这两区域重合,这时问题转化为3种不同颜色给圆上
个区域涂色,即为
种染色方案;
情况二:第区域与第1区域不同色,此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上
个区域染色,且相邻区域颜色互异,即此时的情况就是
.根据分类原理可知
,且满足初始条件:
.
即递推公式为,由
变形得
,所以数列
是以-1为公比的等比数列.所以
,即
.当
时,易知有3种染色方法,即
,不满足上述通项公式;当
时,易知有
种染色方法,即
,满足上述通项公式;当
时,易知有
种染色方法,即
,满足上述通项公式.
综上所述,.
考点:数列的递推公式与通项公式、排列组合
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目