题目内容
【题目】已知各项均为正数的数列的前n项和为,且,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若对,都有,求实数a的取值范围;
(3)当时,将数列中的部分项按原来的顺序构成数列且证明:存在无数个满足条件的无穷等比数列.
【答案】(1);
(2)的取值范围为
(3)证明见解析
【解析】
(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式;
(2)利用(1)的结论,进一步求出数列的前项和,从而可求出的取值范围;
(3)利用定义进行证明,再利用分类讨论思想求出结果.
解:(1)当时,,解得,
当时,由得,,
所以,
,
因为,
所以,
所以,,
所以;
(2)当为奇数时,,
由,得恒成立,
令,则,
所以,
当为偶数时,,
由,得恒成立,
所以,
因为,
所以的取值范围为.
(3)证明:当时,若为奇数,则,
令等比数列的公比,则,
设,
因为,
所以
,
因为为正整数,
所以数列是数列中包含的无穷等比数列,
因为公比有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,
因此无穷等比数列有无数个.
【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
0~2000 | 2001~5000 | 5001~8000 | 8001~10000 | ||
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的列联表,并据此判断是否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关,现收集了7组观测数据列于下表中,并作出了如图的散点图.
温度/℃ | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
产卵数/个 | 6 | 10 | 22 | 26 | 64 | 118 | 310 |
26 | 79.4 | 3.58 | 112 | 11.6 | 2340 | 35.72 |
其中.
(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作为该昆虫的产卵数与温度的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由).
(2)根据表中数据,建立关于的回归方程;(保留两位有效数字)
(3)根据关于的回归方程,估计温度为33℃时的产卵数.
(参考数据:)
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.