题目内容
已知直线l:y=kx-1与圆C:(x-1)
2+y
2=1相交于P、Q两点,点M(0,b)满足MP⊥MQ.
(Ⅰ)当b=0时,求实数k的值;
(Ⅱ)当
b∈(-,1)时,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设A、B是圆C:(x-1)
2+y
2=1上两点,且满足|OA|•|OB|=1,试问:是否存在一个定圆S,使直线AB恒与圆S相切.
分析:(I)当b=0时,M点即为原点,根据圆C的方程:(x-1)
2+y
2=1,原点(M点)落在圆上,若MP⊥MQ,则PQ为圆C:(x-1)
2+y
2=1直径,将圆心坐标代入直线方程,即可求出实数k的值;
(Ⅱ)根据P、Q两点在直线l:y=kx-1上,设出P,Q两点的坐标为(X
1,kX
1-1),(X
2,kX
2-1),联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程,根据韦达定理,可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式,根据
b∈(-,1)时,即可得到实数k的取值范围.
(Ⅲ)设AB:x=ky+λ,A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),进而根据|OA|•|OB|=1,求得y
2•y
1,进而把直线与圆方程联立,求得y
2•y
1,进而根据原点O到直线AB距离求得d,进而判断出直线AB恒与圆
S:x2+y2=相切.
解答:解:(Ⅰ)设P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),
由题设条件可得x
1x
2+y
1y
2=0,将y=kx-1代入圆C:(x-1)
2+y
2=1得(1+k
2)x
2-2(1+k)x+1=0,
故有
x1+x2=,
x1x2=,
又y
1y
2=(kx
1-1)(kx
2-1)=k
2x
1x
2-k(x
1+x
2)+1=
-+1=
∴
+
=0,得k=1;
(Ⅱ)设P,Q两点的坐标为(X
1,kX
1-1),(X
2,kX
2-1)
则由圆C:(x-1)
2+y
2=1及直线l:y=kx-1
得(k
2+1)x
2-2(k+1)x+1=0
则X
1•X
2=
,X
1+X
2=
则
=(X
1,kX
1-1-b),
=(X
2,kX
2-1-b)
由MP⊥MQ则
X
1•X
2+(kX
1-1-b)•(kX
2-1-b)=0
即
=(b+1)+∵
b∈(-,1),∴
<b+1<2,
∴
=(b+1)+∈[2,
)
解得k≥1,
故实数k的取值范围[1,+∞)
(Ⅲ)∵圆C的方程为(x-1)
2+y
2=1
设AB:x=ky+λ,A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
由|OA|•|OB|=1 x
12+y
12•x
22+y
22=1-(x
1-1)
2+y
12•1-(x
2-1)
2+y
22=2x
1•2x
2=1?x
1x
2=
又∵
?(k
2+1)x
2+2(kλ-1)y+λ
2=0,
∴
x1x2==?=,
又原点O到直线AB距离
d=∴
d=,即原点O到直线AB的距离恒为
d=∴直线AB恒与圆
S:x2+y2=相切.
点评:本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,直线与圆的综合应用,(II)中应用的方法--“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”是解答直线与圆锥曲线(包括圆)的综合问题的常用方法,是解答高考压轴题的关键.属难题.
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