题目内容
已知直线l:y=kx-1与圆C:(x-1)2+y2=1相交于P、Q两点,点M(0,b)满足MP⊥MQ.(Ⅰ)当b=0时,求实数k的值;
(Ⅱ)当b∈(-
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(Ⅲ)设A、B是圆C:(x-1)2+y2=1上两点,且满足|OA|•|OB|=1,试问:是否存在一个定圆S,使直线AB恒与圆S相切.
分析:(I)当b=0时,M点即为原点,根据圆C的方程:(x-1)2+y2=1,原点(M点)落在圆上,若MP⊥MQ,则PQ为圆C:(x-1)2+y2=1直径,将圆心坐标代入直线方程,即可求出实数k的值;
(Ⅱ)根据P、Q两点在直线l:y=kx-1上,设出P,Q两点的坐标为(X1,kX1-1),(X2,kX2-1),联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程,根据韦达定理,可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式,根据 b∈(-
,1)时,即可得到实数k的取值范围.
(Ⅲ)设AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),进而根据|OA|•|OB|=1,求得y2•y1,进而把直线与圆方程联立,求得y2•y1,进而根据原点O到直线AB距离求得d,进而判断出直线AB恒与圆 S:x2+y2=
相切.
(Ⅱ)根据P、Q两点在直线l:y=kx-1上,设出P,Q两点的坐标为(X1,kX1-1),(X2,kX2-1),联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程,根据韦达定理,可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式,根据 b∈(-
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(Ⅲ)设AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),进而根据|OA|•|OB|=1,求得y2•y1,进而把直线与圆方程联立,求得y2•y1,进而根据原点O到直线AB距离求得d,进而判断出直线AB恒与圆 S:x2+y2=
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解答:解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由题设条件可得x1x2+y1y2=0,将y=kx-1代入圆C:(x-1)2+y2=1得(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0,
故有x1+x2=
,x1x2=
,
又y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1=
-
+1=
∴
+
=0,得k=1;
(Ⅱ)设P,Q两点的坐标为(X1,kX1-1),(X2,kX2-1)
则由圆C:(x-1)2+y2=1及直线l:y=kx-1
得(k2+1)x2-2(k+1)x+1=0
则X1•X2=
,X1+X2=
则
=(X1,kX1-1-b),
=(X2,kX2-1-b)
由MP⊥MQ则
X1•X2+(kX1-1-b)•(kX2-1-b)=0
即
=(b+1)+
∵b∈(-
,1),∴
<b+1<2,
∴
=(b+1)+
∈[2,
)
解得k≥1,
故实数k的取值范围[1,+∞)
(Ⅲ)∵圆C的方程为(x-1)2+y2=1
设AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),
由|OA|•|OB|=1 x12+y12•x22+y22=1-(x1-1)2+y12•1-(x2-1)2+y22=2x1•2x2=1?x1x2=
又∵
?(k2+1)x2+2(kλ-1)y+λ2=0,
∴x1x2=
=
?
=
,
又原点O到直线AB距离 d=
∴d=
,即原点O到直线AB的距离恒为 d=
∴直线AB恒与圆 S:x2+y2=
相切.
由题设条件可得x1x2+y1y2=0,将y=kx-1代入圆C:(x-1)2+y2=1得(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0,
故有x1+x2=
2+2k |
1+k2 |
1 |
1+k2 |
又y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1=
k2 |
1+k2 |
2k+2k2 |
1+k2 |
1-2k |
1+k2 |
∴
1-2k |
1+k2 |
1 |
1+k2 |
(Ⅱ)设P,Q两点的坐标为(X1,kX1-1),(X2,kX2-1)
则由圆C:(x-1)2+y2=1及直线l:y=kx-1
得(k2+1)x2-2(k+1)x+1=0
则X1•X2=
1 |
k2+1 |
2(k+1) |
k2+1 |
则
MP |
MQ |
由MP⊥MQ则
X1•X2+(kX1-1-b)•(kX2-1-b)=0
即
2k2+2k |
k2+1 |
1 |
(b+1) |
∵b∈(-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
2k2+2k |
k2+1 |
1 |
(b+1) |
5 |
2 |
解得k≥1,
故实数k的取值范围[1,+∞)
(Ⅲ)∵圆C的方程为(x-1)2+y2=1
设AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),
由|OA|•|OB|=1 x12+y12•x22+y22=1-(x1-1)2+y12•1-(x2-1)2+y22=2x1•2x2=1?x1x2=
1 |
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又∵
|
∴x1x2=
λ2 |
k2+1 |
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|λ| | ||
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2 |
又原点O到直线AB距离 d=
|λ| | ||
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∴d=
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2 |
∴直线AB恒与圆 S:x2+y2=
1 |
4 |
点评:本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,直线与圆的综合应用,(II)中应用的方法--“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”是解答直线与圆锥曲线(包括圆)的综合问题的常用方法,是解答高考压轴题的关键.属难题.

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