Question

已知向量

a

=（cosx-sinx，2sinx），

b

=（cosx+sinx，cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角公式和两角和的正弦公式，即可化简求得；
（Ⅱ）运用正弦函数的周期公式和正弦函数的最大值及对应的x的值，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（cosx-sinx，2sinx），

b

=（cosx+sinx，cosx），
则函数f（x）=

a

•

b

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx
=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=

2

sin(2x+

π

4

)；
（Ⅱ）由于f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，
则f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
f（x）的最大值为

2

，此时2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，解得，
x=kπ+

π

8

，k∈Z．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和二倍角公式及两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的周期性和最值性，考查运算能力，属于中档题．