题目内容

A是定义在［2,4］上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合：①对任意的x∈［1,2］，都有φ(2x)∈(1,2)；②存在常数L(0＜L＜1)，使得对任意的x1,x2∈［1,2］，都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

(Ⅰ)设φ(x)=,x∈［2,4］，证明：φ(x)∈A.

(Ⅱ)设φ(x)∈A，如果存在x0∈(1,2)，使得x0=φ(2x0)，那么这样的x0是唯一的.

(Ⅲ)设φ(x)∈A，任取x1∈(1,2)，令xn+1=φ(2xn)，n=1,2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|.

思路分析：根据已知条件中存在常数L(0＜L＜1)，使得对任意的x1,x2∈［1,2］，都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|，可以猜想用到放缩法，又由于

3＜，

0＜,

所以问题得证.第二小题中出现了唯一性问题，可考虑用反证法.第三小题仍考虑用放缩法较好.

证明：(Ⅰ)对任意x∈［1，2］,

φ(2x)=,x∈［1,2］,≤φ(2x)≤,1＜＜＜2,

所以φ(2x)∈(1,2)；

对任意的x1,x2∈［1,2］,

|φ(2x1)-φ(2x2)|=|x1-x2|，

3＜，

所以0＜,

令=L,0＜L＜1,|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,

所以φ(x)∈A.

(Ⅱ)反证法:设存在两个x0,x0′∈(1,2),x0≠x0′,使得x0=φ(2x0),x0′=φ(2x0′),则

由|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|，得|x0-x0′|≤L|x0-x0′|，所以|x0-x0′|=0，矛盾，故结论成立.

(Ⅲ)|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|(x2-x1)|,所以|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|,

|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…+(xk+1-xk)|≤|x2-x1|

≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|≤|x2-x1|.

练习册系列答案
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A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）设Φ(x)=
[
3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，这样的x0是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．
A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）设Φ(x)=
[
3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，这样的x0是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．
A是由定义在［2,4］上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);②存在常数L(0＜L＜1),使得对任意的x1,x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

(1)设φ(x)=,x∈［2,4］,证明φ(x)∈A;

(2)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;

(3)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|.

A是由定义在［2,4］上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:

①对任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常数L(0＜L＜1),使得对任意x1、x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

(1)设φ(x)=,x∈［2,4］,证明φ(x)∈A;

(2)设φ(x)∈A,证明如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;

(3)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式:|xk+p-xk|≤|x1-x2|.

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