题目内容
A是由定义在［2,4］上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0＜L＜1),使得对任意x1、x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(1)设φ(x)=
,x∈［2,4］,证明φ(x)∈A;
(2)设φ(x)∈A,证明如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;
(3)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式:|xk+p-xk|≤
|x1-x2|.
证明：(1)由题设,对任意x∈［1,2］有φ(2x)= ,x∈［1,2］,
∵≤φ(2x)≤
,1＜
＜
＜2,
∴φ(2x)∈(1,2).
又∵对任意的x1,x2∈［1,2］,
|φ(2x1)-φ(2x2)|=|x1-x2|
,
而6＜
+
+
＜9,
∴
.
令
=L,显然存在常数L(0＜L＜1),
使得|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
综上所述,可知φ(x)∈A.
(2)(运用反证法证明)
设存在两个实数x1、x2∈(1,2)且x1≠x2,使得x1=φ(2x1),x2=φ(2x2).
因为φ(x)∈A,则由
|x1-x2|=|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,得|x1-x2|≤L|x1-x2|,
∴L≥1,这与题设0＜L＜1矛盾,故假设不成立.
从而所证命题结论成立.
(3)因为φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),且xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,
∴|xn+1-xn|=|φ(2xn)-φ(2xn-1)|
≤L|xn-xn-1|
=L|φ(2xn-1)-φ(2xn-2)|
≤L2|xn-1-xn-2|
=L2|φ(2xn-2)-φ(2xn-3)|
≤L3|xn-2-xn-3|=…
≤Ln-1|x2-x1|(其中0＜L＜1).
∴|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…+(xk+1-xk)|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|
=(Lk+p-2+Lk+p-3+…+Lk-1)|x2-x1|=
|x2-x1|,
故对于给定正整数k,对任意的正整数p不等式|xk+p-xk|≤
|x2-x1|均成立.
,x∈［2,4］,证明φ(x)∈A;
|x2-x1|.