题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
平面
,底面
为正方形,且
.若四棱锥
的每个顶点都在球
的球面上,则球
的表面积的最小值为_____;当四棱锥
的体积取得最大值时,二面角
的正切值为_______.
【答案】
【解析】
(1).要求球的表面积的最小值,需求出球
的表面积的算式,为此又需求出球
的半径,从而根据算式的特点,用函数的单调性或不等式求出最小值.
(2).列出四棱锥的体积的算式,求出体积取得最大值时变量的取值,从而求出二面角
的正切值.
(1).设,则
.∵
平面
,
∴,又
,
∴平面
,
则四棱锥可补形成一个长方体,球
的球心为
的中点,
从而球的表面积为
.
(2).四棱锥的体积
,
则,当
时,
;当
时,
.
故,此时
,
.
过作
于
,连接
,
则为二面角
的平面角.
∵,∴
.
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