题目内容

已知椭C： $数学公式$ （a＞b＞0），以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂为顶点的三角形周长是4+2 $数学公式$ ，且∠BF₁F₂= $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点Q（1， $数学公式$ ）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程．

解：（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂为顶点的三角形周长是4+2 $\text{[math]}$ ，且∠BF₁F₂= $\text{[math]}$ ．
∴2a+2c=4+2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴a=2，c= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1， $\text{[math]}$ ）引曲线C的弦AB不被点Q平分；
当直线l的斜率为k时，l：y- $\text{[math]}$ =k（x-1）与椭圆方程联立，消元可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
∵过点Q（1， $\text{[math]}$ ）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴解得k=- $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$
∴点Q在椭圆内
∴直线l：y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-1），即l：y=- $\text{[math]}$ x+1．
分析：（1）利用以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂为顶点的三角形周长是4+2 $\text{[math]}$ ，且∠BF₁F₂= $\text{[math]}$ ，建立方程，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的标准方程；
（2）当斜率l不存在时，过点Q（1， $\text{[math]}$ ）引曲线C的弦AB不被点Q平分；当直线l的斜率为k时，设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及过点Q（1， $\text{[math]}$ ）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，建立方程，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，正确运用韦达定理是关键．