Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，AD=AP=2， ，E为CD的中点，点F在线段PB上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，连接AC， 因为 ，BC=2，∠ABC=45°，
由余弦定理得 ，∴AC=2，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∴BC⊥AC，
又AD∥BC，∴AD⊥AC，
∵AD=AP=2， ，∴AD2+AP2=DP2 ， ∴PA⊥AD，
又AP∩AC=A，AP平面PAC，AC平面PAC，
∴AD⊥平面PAC，∵PC平面PAC，
∴AD⊥PC．

（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊥AD，PA平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD，
以A为原点，以直线DA，AC，AP坐标轴建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），D（﹣2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（﹣1，1，0），P（0，0，2），
所以 ， ， ，设 （λ∈[0，1]），
则 ，F（2λ，2λ，﹣2λ+2），
∴ ，
平面ABCD的一个法向量为 =（0，0，1）．
设平面PDC的法向量为 =（x，y，z），则 ，
∴ ，令x=1，得 =（1，﹣1，﹣1）．
∵直线EF与平面PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，
∴|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，
即 = ，∴2﹣2λ= ，解得 ，
∴当 时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

【解析】（I）利用勾股定理的逆定理证明AD⊥AP，BC⊥AC，从而AD⊥平面PAC，得出AD⊥PC；（II）由面面垂直的性质可得AP⊥平面ABCD，建立空间坐标系，设 /span> =λ，求出平面PCD的法向量 和平面ABCD的法向量 ，令|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，解出λ即可．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．