Question

下列四种说法：
①命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x²+bx+c=0有实根的概率为

19

36

；
④过点（

1

2

，1）且与函数y=

1

x

图象相切的直线方程是4x+y-3=0．
其中所有正确说法的序号是

 

．

Answer 1

分析：①中特称命题的否定为全称命题；
②中可先求出“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要条件，再进行判断；
③中概率为古典概型，利用列举法求解即可；
④中利用导数求解即可．

解答：解：①中命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”为特称命题，其否定应为全称命题，注意量词的变化，故①正确；
②中m=-2时，两直线为：-2y+1=0和-4x-3=0，两直线垂直，而两直线垂直时，有-

m+2

m

•(-

m-2

m+2

) =-1，解得m=1或m=-2
所以“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件；
③b和c的取值分别为1、2、3、4、5、6，共36种，方程x²+bx+c=0有实根，则△=b²-4c≥0，取值共有16种，故概率为

19

36

；
④设切点为P（x₀，y₀），则函数y=

1

x

在P点处的切线的斜率为y′|x=x0=-

1

x02

，
切线方程为：y-

1

x0

= -

1

x02

(x-x0)①，若此切线过点（

1

2

，1），代入切线方程得x02-2x0+

1

2

=0，解出x₀，
代入①式可求得切线方程，④错误
故答案为：①③

点评：本题考查命题的否定、两直线相切的充要条件的判断、古典概型、过某点的函数的切线方程等知识，考查知识点较多，综合性较强．