题目内容

(本小题满分12分)

已知函数,实数为常数).

(Ⅰ)若,求处的切线方程;

(Ⅱ)若,讨论函数的单调性.

 

【答案】

(Ⅰ);

(Ⅱ)当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为

【解析】(1)把,代入,可求出,当,由点斜式方程写出曲线的切线方程,再化为一般式;(2)把代入得 ,注意定义域,令,得.需讨论与0和1的大小得的范围,就是原函数的增区间或减区间.

(Ⅰ)因为,所以函数

………………………………………………2分

所以

处的切线方程为…………………………………5分

(Ⅱ)因为,所以,则

         

       令,得.……………………………………………7分

(1)当,即时,函数的单调递减区间为

单调递增区间为;…………………………………………8分

      (2)当,即时,的变化情况如下表:

          所以,函数的单调递增区间为

单调递减区间为;…………………………9分

(3)当,即时,函数的单调递增区间为;………10分

     (4)当,即时,的变化情况如下表:

 

     

 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为;……………………………………11分

       综上,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.…………………………12分

 

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