题目内容
(本小题满分12分)
已知函数(
,实数
,
为常数).
(Ⅰ)若,求
在
处的切线方程;
(Ⅱ)若,讨论函数
的单调性.
【答案】
(Ⅰ);
(Ⅱ)当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.
【解析】(1)把,代入
,可求出
,当
,由点斜式方程写出曲线的切线方程,再化为一般式;(2)把
代入得
,
,注意定义域,令
,得
,
.需讨论
与0和1的大小得
或
的
的范围,就是原函数的增区间或减区间.
(Ⅰ)因为,所以函数
,
又,
………………………………………………2分
所以
即在
处的切线方程为
…………………………………5分
(Ⅱ)因为,所以
,则
令,得
,
.……………………………………………7分
(1)当,即
时,函数
的单调递减区间为
,
单调递增区间为;…………………………………………8分
(2)当,即
时,
,
的变化情况如下表:
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所以,函数的单调递增区间为
,
,
单调递减区间为;…………………………9分
(3)当,即
时,函数
的单调递增区间为
;………10分
(4)当,即
时,
,
的变化情况如下表:
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所以函数的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;……………………………………11分
综上,当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.…………………………12分
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