Question

在直角坐标系xoy中，设倾斜角为α的直线l：

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

（t为参数）与曲线 C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若α=

π

3

，求线段AB中点M的坐标；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|²，其中P(2，

3

)，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；
（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，

解答：解：（1）当α=

π

3

时，由

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

，得

x=2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

，所以直线方程为y=

3

x-

3

，
由

x=2cosθ y=sinθ

，得曲线C的普通方程为

x2

4

+y2=1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）再由

y= 3 x- 3 x2 4 +y2=1

，得：13x²-24x+8=0，
所以

x1+x2

2

=

12

13

，

y1+y2

2

=

3 (x1+x2)

2

-

3

=-

3

13

，所以M的坐标为(

12

13

，-

3

13

)
（2）把直线的参数方程代入

x2

4

+y2=1，得：(1+3sin2α)t2+(8

3

sinα+4cosα)t+12=0，
所以t1t2=

12

(1+3sin2α)

，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|OP|²=7，得：

12

1+3sin2α

=7，所以sin2α=

5

21

，cos2α=

16

21

，
所以tan2α=

5

16

，所以tanα=

5

4

．
所以直线L的斜率为

5

4

．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答此题（2）的关键是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．