Question

（本题满分12分）对于函数，若存在，使得成立，称为不动点，已知函数

（1）  当时，求函数不动点；

（2）  若对任意的实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）  在（2）的条件下，若图象上A，B两点的横坐标是函数不动点，且两点关于直线对称，求b的最小值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）当时，，令，解之得

      所以的不动点是-1，3

  （2）恒有两个不动点，所以，

即恒有两个相异实根，得恒成立。于是解得

     所以a的取值范围为

  （3）由题意，A、B两点应在直线上，

    设A，因为AB关于直线对称，所以

    设AB中点为M，因为是方程的两个根。

所以

    于是点M在直线上，代入得

即

  当且仅当即时取等号。

故的最小值为

 

【解析】略