题目内容

已知定义在R上的函数f（x）满足 $数学公式$ 为常数
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；
（3）当f（x）为偶函数时，若方程f（x）=m有两个实数根x₁，x₂；其中x₁＜0，0＜x₂＜1；求实数m的范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ 为常数
令t= $\text{[math]}$ 则x= $\text{[math]}$
∴f（t）= $\text{[math]}$ =2^-t+a•2^t
从而有f（x）=2^-x+a•2^x；

（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴2^x+a•2^-x=2^-x+a•2^x
整理可得，（a-1）•2^x=（a-1）•2^-x
∴a=1

（3）由（2）可得f（x）为偶函数，a=1，f（x）=2^x+2^-x
令n=2^x，n＞0，f（n）=n+ $\text{[math]}$ ，n＞0的图象如图，
结合图象可得方程f（x）=m有两个实数根x₁，x₂，
其中x₁＜0，0＜x₂＜1?f（n）=m有两个实数根n₁，n₂其中0＜n₁＜1，1＜n₂＜2
而函数f（n）=n+ $\text{[math]}$ 在（0，1）上单调递减，在（1，2）单调递增
结合图象可得， $\text{[math]}$ 函数有两个交点
分析：（1）利用换元法令t= $\text{[math]}$ 则x= $\text{[math]}$ 代入可求f（t），以“x“代换“x“可求．
（2）由f（x）为偶函数利用定义f（-x）=f（x）代入整理可求．
（3）由（2）可得f（x）为偶函数可得a=1，代入可得f（x）=2^x+2^-x，结合函数f（n）=n+ $\text{[math]}$ ，n＞0的图象，可得方程f（x）=m有两个实数根x₁，x₂，其中x₁＜0，0＜x₂＜1?f（n）=m有两个实数根n₁，n₂其中0＜n₁＜1，1＜n₂＜2，结合函数的图象可得
点评：（1）考查了换元法求函数的解析式，而利用换元法求解时要注意新元的范围，即所求函数的定义域
（2）考查了偶函数的定义的应用
（3）考查了函数与方程相互转化的思想，考查了函数y=x+ $\text{[math]}$ 的性质的应用，体现了数形结合思想的应用．