题目内容

已知A、B、C为△ABC的三内角,且其对边分别为a、b、c,若
m
=(cos
A
2
,-sin
A
2
)
n
=(cos
A
2
,sin
A
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角A的值;
(2)若a=2
3
,b+c=4,求△ABC的面积.
分析:(1)根据向量的坐标和等式,进而求得cosA的值,则A的值可得.
(2)先由余弦定理求得bc,进而利用三角形面积公式求得答案.
解答:解:(1)由
m
n
=
1
2
,得cos2
A
2
-sin2
A
2
=
1
2

即cosA=
1
2

∵A为△ABC的内角,
∴A=
π
3

(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA?a2=(b+c)2-3bc
即12=42-3bc?bc=
4
3

∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
4
3
3
2
=
3
3
点评:本题主要考查了余弦定理的运用和平面向量的运算.考查了学生综合分析问题和解决数列问题的关键.
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