Question

13．设x，y，x∈（0，+∞）且3^x=4^y=6^z，求证$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{z}$．

Answer 1

分析 设3^x=4^y=6^z=k，k＞0，则x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，由此利用换底公式能证明$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{z}$．

解答 解：∵x，y，x∈（0，+∞）且3^x=4^y=6^z，
∴设3^x=4^y=6^z=k，k＞0，
x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=log_k3+$\frac{1}{2}$log_k4=log_k6=$\frac{1}{z}$．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{z}$．

点评 本题考查对数式相等的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和换底公式的合理运用．