Question

（2013•徐州模拟）已知函数f(x)=

a

x

+lnx，g（x）=

1

2

bx2-2x+2，a，b∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；
（3）记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．

Answer 1

分析：（1）根据导数运算公式，得f'（x）=

x-a

x2

，然后根据实数a的正负进行讨论，即可得到当a≤0时和当a＞0时两种情况下函数f（x）的单调区间；
（2）当a=0时h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根．因此求出h'（x）的表达式，再分b=0、b＞0和b＜0三种情况加以讨论，即可算出实数b的取值范围；
（3）首先根据（1）的结论，讨论可得只有0＜a＜

1

e

时直线l与y=F（x）的图象有两个切点．设切点的横坐标分别为s、t且s＜t，可得l与y=F（x）的图象有两个切点分别为直线l与曲线y1=-

a

x

-lnx在x∈（s，t）的切点和曲线y2=

a

x

+lnx在x∈（t，+∞）的切点．由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a、x₁、y₁、x₂、y₂的关系式，化简整理可得

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，再令

x1

x2

=k（0＜k＜1），转化为（k²+1）lnk=2k²-2．令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理证出：存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0．由此即可得到原命题成立．

解答：解：（1）因为f'（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（2分）
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0．
所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间．
综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞）． …（4分）
（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

bx2-2x+2+lnx，
∴h'（x）=bx-2+

1

x

=

bx2-2x+1

x

，…（5分）
h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，
由h'（x）=0得bx²-2x+1=0，…（6分）
（ i）b=0，x=

1

2

，满足题意；…（7分）
（ ii）b＞0时，b•1²-2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）
（ iii）b＜0时，b•1²-2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；
综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1． …（9分）
（3）证明：由（1）可知：
（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，
所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分）
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥

1

e

时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）
故0＜a＜

1

e

，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），
则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与y1=-

a

x

-lnx，x∈(s，t)
和y2=

a

x

+lnx，x∈(t，+∞)的切点．
y₁'=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

，y₂'=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则0＜x₁＜x₂，且

a-x1

x12

=

y1

x1

=-

a

x12

-

lnx1

x1

，

a-x2

x22

=

y2

x2

=

a

x22

+

lnx2

x2

，

a-x1

x12

=

x2-a

x22

，
即

2a

x1

=1-lnx₁…①；

2a

x2

=1-lnx₂…②；a=

x1x2(x1 +x2 )

x12+x22

，③
①-②得：

2a

x1

-

2a

x2

=-lnx₁+lnx₂=-ln

x1

x2

，
由③中的a代入上式可得：（

2

x1

-

2

x2

）•

x1x2(x1 +x2 )

x12+x22

=-ln

x1

x2

，
即

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，…（14分）
令

x1

x2

=k（0＜k＜1），则（k²+1）lnk=2k²-2，令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），
因为G(

1

e

)=1-

3

e2

＞0，G(

1

e2

)=-

4

e4

＜0，
故存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0，
即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．…（16分）

点评：本题给出含有分式和对数的基本初等函数，求函数f（x）的单调区间、讨论函数f（x）+g（x）的极值点并证明了函数|f（x）|图象与过原点的直线相切的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识，属于难题．