Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f'（x）．
（1）当时，若不等式对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，将不等式对任意x∈R恒成立，转化为x²+2bx+b＞0恒成立，利用判别式，即可确定b的取值范围；
（2）先确定函数的解析式，确定f（x）的单调性，由f（x）=0解得x=±1，x=0；
法一：作y=f（x）与的图象，若只有一个交点，结合图象分类讨论；
法二：作y=f（x）与的图知交点横坐标为，x=0，当时，过图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个或没有交点，由此可得结论．
解答：解：（1）当时，，…（1分）
依题意 即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得 0＜b＜1
所以b的取值范围是（0，1）…（4分）
（2）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，f'（x）=3ax²-a．
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x³-x．…（6分）
∴f（x）在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，…（7分）
法一：如图所示，作y=f（x）与的图象，若只有一个交点，则
①当时，，即，解得；
②当时，，解得；③当t=0时，不成立；
④当时，，即，解得；
⑤当时，，解得；
⑥当t＞1时，.…（13分）
综上t的取值范围是或或．…（14分）
法二：作y=f（x）与的图知交点横坐标为，x=0
当时，过图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个或没有交点．
所以当时，方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查数形结合的数学思想，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．