Question

设实数x，y满足

x≤3 x-y+2≥0 x+y-4≥0

，则x²+y²的取值范围是

[8，34]

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，设P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x²+y²的范围．

解答：解：作出不等式组

x≤3 x-y+2≥0 x+y-4≥0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（3，5），B（3，1），C（1，3）
设P（x，y）为区域内一个动点
则|OP|=

x2+y2

，
因此x²+y²=|OP|²表示O、P两点距离的平方之值
∵当P与A重合时|OP|=

32+52

=

34

达到最大值，
当P与原点O在BC上的射影D重合量，|OP|=

|0+0-4|

1+1

=2

2

达到最小值
∴|OP|²的最小值为8，最大值为34，即x²+y²的取值范围是[8，34]
故答案为：[8，34]

点评：本题给出二元一次不等式组，求x²+y²的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．