Question

设函数f（x）和g（x）是定义在集合D上的函数，若?x∈D，f（g（x））=g（f（x）），则称函数f（x）和g_^（x）在集合D上具有性质P（D）．
（1）若函数f（x）=2x和g（x）=cosx+

1

2

在集合D上具有性质P（D），求集合D；
（2）若函数f（x）=2^x+m和g（x）=-x+2在集合D上具有性质P（D），求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=2x，g（x）=cosx+

1

2

，f（g（x））=g（f（x））可得：2(cosx+

1

2

)=cos2x+

1

2

，利用倍角公式化为4cos²x-4cosx-3=0，解得x，即可得到D．
（2）由f（x）=2^x+m，g（x）=-x+2，由f（g（x））=g（f（x））可得2^-x+2+m=-（2^x+m）+2，变形得：2-2m=2x+

4

2x

，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）=2x，g（x）=cosx+

1

2

，
∴由f（g（x））=g（f（x））得：2(cosx+

1

2

)=cos2x+

1

2

，
化为4cos²x-4cosx-3=0，
∵cosx∈[-1，1]，
解得cosx=-

1

2

，
∴x=2kπ±

2π

3

(k∈Z)．
∴D={x|x=2kπ±

2

3

π，k∈Z}．
（2）∵f（x）=2^x+m，g（x）=-x+2，
∴由f（g（x））=g（f（x）），
得2^-x+2+m=-（2^x+m）+2，
变形得：2-2m=2x+

4

2x

，
∵D≠∅，且2x+

4

2x

≥4，
∴2-2m≥4，∴m≤-1，
即m的取值范围为（-∞，-1]．

点评：本题考查了新定义、倍角公式、余弦函数的性质、基本不等式，属于难题．