题目内容
【题目】曲线
为：到两定点
、
距离乘积为常数
的动点
的轨迹.以下结论正确的个数为（ ）
（1）曲线一定经过原点；
（2）曲线关于
轴、
轴对称；
（3）
的面积不大于
；
（4）曲线在一个面积为
的矩形范围内.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设点
的坐标为
，求出点的坐标所满足的等式，分析命题（1）（2）的正误，利用余弦定理和三角形的面积公式，结合基本不等式分析出命题（3）（4）的正误.
设点的坐标为，由题意可得
.
对于命题（1），将原点坐标代入方程得
，所以，命题（1）错误；
对于命题（2），点关于
轴、
轴的对称点分别为
、
，
，
，
则点
、
都在曲线
上，所以，曲线关于轴、轴对称，命题（2）正确；
对于命题（3），设
，
，
，则
，
由余弦定理得
，
当且仅当
时等号成立，则
为锐角，所以，
，
则
的面积为
，命题（3）正确；
对于命题（4），
，
可得
，得
，解得
，
由（3）知，
，得
，
曲线在一个面积为
的矩形内，命题（4）正确.
因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）.
故选C.
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