题目内容
【题目】曲线为:到两定点
、
距离乘积为常数
的动点
的轨迹.以下结论正确的个数为( )
(1)曲线一定经过原点;
(2)曲线关于
轴、
轴对称;
(3)的面积不大于
;
(4)曲线在一个面积为
的矩形范围内.
A.B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设点的坐标为
,求出点
的坐标所满足的等式,分析命题(1)(2)的正误,利用余弦定理和三角形的面积公式,结合基本不等式分析出命题(3)(4)的正误.
设点的坐标为
,由题意可得
.
对于命题(1),将原点坐标代入方程得,所以,命题(1)错误;
对于命题(2),点关于
轴、
轴的对称点分别为
、
,
,
,
则点、
都在曲线
上,所以,曲线
关于
轴、
轴对称,命题(2)正确;
对于命题(3),设,
,
,则
,
由余弦定理得,
当且仅当时等号成立,则
为锐角,所以,
,
则的面积为
,命题(3)正确;
对于命题(4),,
可得,得
,解得
,
由(3)知,,得
,
曲线在一个面积为
的矩形内,命题(4)正确.
因此,正确的命题序号为(2)(3)(4).
故选C.
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