Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=

1

4

，bn+1=

bn

1- a n 2

a_n+b_n=1．
（1）求证：数列{

1

bn-1

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设s_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…a_na_n+1，若4aS_n＜b_n对于n∈N^*恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，依题意

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=

1

1 1+an -1

-

1

1-an-1

=-

1

an

-1+

1

an

=-1，由此能够证明数列{

1

bn-1

}是等差数列．
（2）由

1

bn-1

=-4+(n-1)(-1)=-n-3，知bn=-

1

n+3

+1=

n+2

n+3

，由此能得到数列{a_n}的通项公式．
（3）由s_n=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)•(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，知4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，依题意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，由此借助二次函数的性质能够推导出a≤1，4aS_n≤b_n对于n∈N^*恒成立．

解答：解：（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，
依题意bn+1=

bn

1- a 2 n

=

1-an

(1-an)(1+an)

=

1

1+an

∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=

1

1 1+an -1

-

1

1-an-1

=-

1

an

-1+

1

an

=-1∵a1=

1

4

，∴b1=

3

4

，

1

b1-1

=-4，∴数列{

1

bn-1

}是以-4为首项公差为-1的等差数列
（2）由（1）知

1

bn-1

=-4+(n-1)(-1)=-n-3，
则bn=-

1

n+3

+1=

n+2

n+3

，an=1-bn=1-

n+2

n+3

=

1

n+3

（3）S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)•(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

依题意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，令f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数性质知f（n）＜0不可能成立
当a＜1时，此二次函数的对称轴为x=-

3a-6

2(a-1)

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0
则f（n）在n∈N^*上是单调递减，∴要使f（n）＜0对n∈N^*恒成立
必须且只须f（1）＜0即4a-15＜0，∴a＜

15

4

，又a＜1∴a＜1
综上a≤1，4aS_n≤b_n对于n∈N^*恒成立．

点评：本题考查等差数列的证明方法，数列通项公式的求解方法和以数列为载体求解实数a的取值范围，解题时要注意数列性质的灵活运用．