题目内容

已知曲线C1:y=x2+4和C2:y=2x-x2,直线l1与C1、C2分别相切于点A、B,直线l2(不同于l1)与C1、C2分别相切于点C、D,则AB与CD交点的横坐标是   
【答案】分析:抛物线C1的方程是y=x2+4,和C2:y=2x-x2,由题意知曲线C2与C1关于AB与CD交点对称,得AB与CD交点即为两抛物线的对称中心.求出抛物线C1和抛物线C2的顶点坐标,再求出它们连线段的中点即可得出正确答案.
解答:解:∵C1:y=x2+4和C2:y=2x-x2,分别由抛物线y=x2经过平移或对称变换而得,它们是全等的图形,从而具有对称中心,又直线l1与l2分别是它们的公切线,根据对称性知,直线l1与l2也关于对称中心对称,从而曲线C2与C1关于AB与CD交点对称,AB与CD交点即为两抛物线的对称中心.如图.
由于抛物线C1和抛物线C2的顶点坐标分别为M(0,4),N(1,1),
线段MN的中点的横坐标为x==.即两抛物线的对称中心的横坐标为
故答数为:
点评:本题考查曲线方程,考查曲线的对称性.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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