题目内容

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.

(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1(a>).

将点A(1，)代入方程得＋＝1，

整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)，

故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，

由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，

可得0≤m2<8.(*)

由x1＋x2＝－m，x1x2＝，

故|BC|＝|x1－x2|＝.

又点A到BC的距离为d＝，

故S△ABC＝|BC|·d＝

≤·＝，

当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足(*)式)，此时直线l的方程为y＝x±2.

练习册系列答案
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已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三点
（1）求椭圆方程
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已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时．求内切圆圆心的坐标．
（2013•闵行区二模）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(2
2
，0)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．
已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)、N(2
2
，0)两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．

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