Question

2．如图，已知四边形ABCD内接于半径为3的圆，且AB是圆的直径，过点D的圆的切线与BA的延长线交于点M，∠BMD的平分线分别交AD、BD于点E、F，AC、BD交于点P．
（Ⅰ）证明：DE=DF；
（Ⅱ）若DM=3$\sqrt{3}$，AP=2CP=2$\sqrt{3}$，求BP的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：DE=DF，只要证明∠DEF=∠DFE；
（Ⅱ）先求出∠ABD=30°，BD=ABcos∠ABD=3$\sqrt{3}$，再利用相交弦定理，即可求BP的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵MD是切线，AD是弦，
∴∠ADM=∠ABD，
∵∠BMF=∠DMF，
∴∠BMF+∠ABD=∠ADM+∠DMF，
∵∠DEF=∠ADM+∠DMF，∠DFE=∠BMF+∠ABD，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF；
（Ⅱ）解：连接OD，则
∵MD是切线，
∴OD⊥MD，
∵OD=3，MD=3$\sqrt{3}$，
∴∠MOD=60°，∴∠ABD=30°，
Rt△ABD中，AB=6，∴BD=ABcos∠ABD=3$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴AP•PC=BP•PD，
∴2$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=BP•（3$\sqrt{3}$-BP），
∴BP=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
∵BP＞CP，∴BP=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．