题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足3S_n-4a_n=2n-4，n∈N^*．
（1）证明：当n≥2时，a_n=4a_n-1-2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n= $数学公式$ T_n为数列{c_n}的前n项和，证明：T_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）3S_n-4a_n=2n-4，①
得当n≥2时，3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4 ②
①-②得，3（S_n-S_n-1）-4a_n+4a_n-1=2?-a_n+4a_n-1=2?a_n=4a_n-1-2；

（2）∵当n≥2时，a_n=4a_n-1-2；?a_n- $\text{[math]}$ =4（a_n-1- $\text{[math]}$ ）；?{a_n- $\text{[math]}$ }是以a₁- $\text{[math]}$ 为首项4为公比的等比数列．
又3S₁-4a₁=2-4?a₁=2?a₁- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a_n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •4^n-1?a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ •4^n-1= $\text{[math]}$ ．

（3）∵c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
当n=1时，T₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
n≥2时，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
综上，对所有的正整数n，都有 T_n＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用3S_n-4a_n=2n-4，可得3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4，两式作差即可．
（2）由（1）的结论，把a_n=4a_n-1-2转化为a_n- $\text{[math]}$ =4（a_n-1- $\text{[math]}$ ）；即{a_n- $\text{[math]}$ }为等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由（2）的结论求出数列{c_n}的通项公式，再对数列{c_n}的通项公式放缩后分离常数，分组求和即可．
点评：本题考查了数列求和的分组求和法．数列求和的常用方法有：裂项求和，错位相减法求和，分组求和，倒序相加求和，公式法等．