Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx²-x-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得

f′(-1)=4 f(-1)=1

，解此方程组可得a，b；
（Ⅱ）分离出参数m后转化为求函数的最值，利用导数可判断函数单调性，由单调性可求最值；

解答：解：（Ⅰ）由题意得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(-1)=4 f(-1)=1

，即

3-2a+b=4 -1+a-b+2=1

，
解得：a=b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2，
∵f（x）≥mx²-x-2，x∈[1，2]，
∴m≤

x3-x2+4

x2

，即m≤x+

4

x2

-1，
令g（x）=x+

4

x2

-1，x∈[1，2]，
∴g′（x）=1-

8

x3

，
当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，
∴g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_min=g（2）=2，
∴m≤2．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化为思想．