题目内容

12．已知实数x，y满足$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+3}$=4，由柯西不等式可知x+y的最小值是2．

分析 由条件利用柯西不等式可得（2x+1+2y+3）（1+1）≥${（\sqrt{2x+1}×1+\sqrt{2y+3}×1）}^{2}$，由此求得x+y的最小值．

解答 解：∵实数x，y满足$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+3}$=4，由柯西不等式可得（2x+1+2y+3）（1+1）≥${（\sqrt{2x+1}×1+\sqrt{2y+3}×1）}^{2}$，
即 4x+4y+8≥16，求得x+y≥2，当且仅当 $\sqrt{2x+1}$=$\sqrt{2y+3}$=2时，取等号，
故x+y的最小值是2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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