题目内容
【题目】已知中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为
，且与直线x＋y－1＝0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．
【答案】
【解析】试题分析：设椭圆方程
（a＞b＞0），依题意椭圆方程可转化为
，与直线x+y﹣1=0联立，设M（x1，y1）、N（x2，y2），利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得到关于b的关系式，从而可求得b2与a2．
试题解析：
设椭圆方程为
＋
＝1(a＞b＞0)，
∵e＝
，∴a2＝4b2，即a＝2b.
∴椭圆方程为
＋＝1.
把直线方程代入并化简，得5x2－8x＋4－4b2＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则
x1＋x2＝
，x1x2＝
(4－4b2)．
∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)
＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝ (1－4b2)．
由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.
解得b2＝
，a2＝
.
∴椭圆方程为
x2＋y2＝1.
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