Question

已知函数f（x）=2^x-．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若对于t∈[1，2]时，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=2即2^x-=2，得4^x-2×2^x-1=0，∴2^x=1±，
又2^x＞0，∴2^x=1+，
∴x=log₂（1+）．
（2）∵2^t（2^2t-）+m（2^t-）≥0，
∴2^t（2^t-）（2^t+）+m（2^t-）≥0，∵t∈[1，2]，∴2^t＞，
∴4^t+1+m≥0恒成立，即m≥-（4^t+1）恒成立，问题等价于m大于等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
因此m的取值范围为[-5，+∞）．
分析：（1）f（x）=2即2^x-=2，先解2^x，再解x值，注意2^x＞0；
（2）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，通过整理变形转化为4^t+1+m≥0恒成立，分离参数m后转化为求函数最值问题解决；
点评：本题考查函数恒成立问题及指数方程的求解，考查学生的分析问题解决问题的能力，恒成立问题往往转化为求函数最值问题解决，或分离参数后再求函数最值．